Sejarah Bilangan Matematika
Sejarah bilangan dapat
kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat menyusun ulang sejarah
bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear dan persamaan
kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai pada
kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem
bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada
kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks.
Secara sederhana,
sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan
bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah
manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu
mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa
bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli.
Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan
ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli
adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli
adalah ℕ. Anggota bilangan
asli adalah N={1,2,3,…}.
Bilangan asli yang
sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan
bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,
dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup
terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan
bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati
bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum
tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota
bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan
menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan
Cacah.
Bilangan nol merupakan
salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan
bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki
notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan
Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol,
penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama
kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa
Arab pada era keemasan Islam.
Perkembangan
selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli,
sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan
keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal
ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi
bilangan bulat.
Perluasan bilangan
bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan
operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah
dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2
dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari ,
maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang
kemudian membentuk bilangan bulat.
Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan
operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika.
Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan,
sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini
berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif,
memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap
perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan
mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat
yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap
operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam
kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa
bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh,
jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka
masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi
jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat
setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan
hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan
rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan m dan n
bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan
tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk
struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan
rasional membentuk lapangan (Field).
Selanjutnya, kita semua mengenal teorema
Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak
masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa)
adalah . Namun, tidak dapat dinyatakan
dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat
di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan
rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan
bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real.
Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk
mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.
Perluasan himpunan
bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan kompleks
dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat .
Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya
adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena
itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan
dan $latex i= \sqrt{-1}} $.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar